РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1141 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2018

Сложность: II

Методы геометрии: Теорема Пифагора, Теорема косинусов, Теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля

Классификатор стереометрии: 5\.1\. Сечение, проходящее через три точки, Тетраэдр

Площади

В тетраэдре SABC с ребром 24 точка P принадлежит SC так, что $SC : PC = 2 : 1$ и $AS:AM = 2: 1,$ $CN: BN =1:3.$ Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью MNP.

1) $18 плюс 12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$

2) $27 корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента$

3) $18 плюс 3 корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента$

4) $81 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

5) $9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Решение. Построим сечение плоскостью. Проведем прямую PN, она пересечет ребро BS в точке K. Далее проведем KM. В плоскости ABC проведем прямую, параллельную KM через точку N. Она пересечет ребро AC в точке R. Проведем MR. Трапеция NKMR  — искомое сечение. Найдем ее стороны.

По теореме Менелая для треугольника $SBC:$

$дробь: числитель: SK, знаменатель: KB конец дроби умножить на дробь: числитель: BN, знаменатель: NC конец дроби умножить на дробь: числитель: CP, знаменатель: PS конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: 24 минус x конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби =1 равносильно x=12,$

то есть точка K  — середина BS. Тогда получаем, что KM параллельно BA и равно 12, как средняя линия треугольника ASB. Более того, NR так же параллельно BA и равно 6 по теореме о пропорциональных отрезках. Таким образом, трапеция NKMR  — равнобедренная, найдем ее боковую сторону по теореме косинусов:

$KN= корень из: начало аргумента: 12 в квадрате плюс 18 в квадрате минус 2 умножить на 18 умножить на 12 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента =6 корень из 7 .$

Найдем высоту трапеции по теореме Пифагора:

$h= корень из: начало аргумента: 36 умножить на 7 минус левая круглая скобка дробь: числитель: KM минус NR, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =9 корень из 3 .$

Тогда площадь трапеции равна

$S= дробь: числитель: NR плюс KM, знаменатель: 2 конец дроби умножить на h=81 корень из 3 .$

Ответ: $81 корень из 3 .$

Ответ: 4

1141

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2018

Сложность: II

Методы геометрии: Теорема Пифагора, Теорема косинусов, Теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля

Классификатор стереометрии: 5\.1\. Сечение, проходящее через три точки, Тетраэдр

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1141	4